209655745_212991110693019_6336816119006224707_n.png CCTI 190815904_473600757066057_1916033830975884133_n.png

Material por:
Enríquez Varela Josué Alejandro
CDMX, 07 de enero de 2021

Cálculo Diferencial e Integral

Table of Contents
CCTI Cálculo Diferencial e Integral 2 Límtes y continuidad 2.4 Límites laterales y límites al infinito 3 Derivadas 3.1 La derivada como una función 3.6 Derivación implícita 3.8 Tazas relacionadas Ejercicio 1 4 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Definición 4.1 Valores extremos de funciones DEFINICIONES TEOREMA 1 4.4 Concavidad y trazado de curvas 4.5 OPTIMIZACIÓN APLICADA Ejercicios: 5 Integración 5.6 Sustitución y área entre curvas Áreaentre curvas 6 Aplicaciones de las integrales definidas 6.1 Cálculo de volúmenes por medio de secciones transversales 7 FUNCIONES TRASCENDENTES Funciones inyectivas (uno a uno) DEFINICIÓN 1 Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas Funciones inversas DEFINICIÓN Función suprayectiva Función biyectiva Ejercicios 8 Ejercicios adicionales 1 2 8 Técnicas de integración 8.1 Integración por partes 8.7 Integrales impropias Cambio de variable: Referencias: Redes de contacto: 🖥️

2 Límtes y continuidad

2.4 Límites laterales y límites al infinito

Qué Valores de n satisfacen el límite:
x=sym('x')
n=sym('n')
nx
2.6 Límites que incluyen infinito; asíntotas de gráficas 22.11.2021
v=sym("v")
v = 
v
f=sqrt(v^2+1)/(v^3-3)^(1/3)
f = 
var4 = limit(f,v,10)
var4 = 
var5 = vpa(var4)
var5 = 
1.0059945643510227177776960214128
figure
fplot(f)
hold on
fplot(1)
grid on
title("Límites infinito")
xlabel('v')
ylabel('f(v)')
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
xlim([0,10])
ylim([0,2])
h.Box = "off"; % apagar caja

3 Derivadas

3.1 La derivada como una función

Sol:
Factorizando
Calculando el cociente de Newton:
Aplicando el límite cuando

3.6 Derivación implícita

La mayoría de las funciones que hemos tratado hasta ahora se han descrito mediante una ecuación de la forma y 5 f(x), la cual expresa de manera explícita a y en términos de la variable x. Hemos aprendido reglas para derivar funciones definidas de esta manera. Otra situación ocurre cuando encontramos ecuaciones como
EJEMPLO 1 Diferenciación implícita
Encontrar
Sol:
Resolvemos para
EJEMPLO 2 Pendiente de un círculo en un punto
Encontrar la pendiente del círculo en el punto (3, –4).
Sol:
Gráfica
Evaluando en el punto de interés
Recta tangente
EJEMPLO 3 Diferenciar implícitamente
Encontrar si (figura 3.39).
Sol:
EJEMPLO 4 Demostrar que:
Derivación Implicita.PNG
Derivación Implicita_2.PNG

3.8 Tazas relacionadas

Estrategia para problemas de tasas relacionadas
1. Elabore un dibujo y de nombre a las variables y las constantes. Utilice t para el tiempo. Suponga que todas las variables son funciones derivables de t.
2. Escriba la información numérica (en términos de los símbolos que haya elegido).
3. Escriba lo que se pide determinar (por lo regular, una tasa de cambio expresada como una derivada).
4. Escriba una ecuación que relacione a las variables. Puede combinar dos o más ecuaciones para obtener una sola que relacione la variable, cuya tasa de cambio necesita conocer, con las variables cuyas tasas de cambio conoce.
5. Derive con respecto a t. Lucgo exprese la tasa de cambio que necesita en términos de las tasas de cambio y las variables cuyos valores conoce.
6. Evalue. Utilice los valores conocidos para determinar la tasa de cambio desconocida.

Ejercicio 1

30.10.2021_Aplicación derivada.png
30.10.2021_Aplicación derivada_2.PNG
30.10.2021_Aplicación derivada_3.PNG
30.10.2021_Aplicación derivada_4.PNG
30.10.2021_Aplicación derivada_5.PNG
30.10.2021_Aplicación derivada_6.PNG
30.10.2021_Aplicación derivada_7.PNG

4 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Definición

Un punto interior del domino de una función f donde f' es cero o no esta definidad es un punto crítico de f.
Como determinar los extremos absolitos de una función continua f en un intervalo cerrado finito.
  1. Evulue la funcipn f en todos los puntos críticos y en los puntos extremos del intervalo [a,b].
  2. Tome el mayor y el menor de tales valores.

4.1 Valores extremos de funciones

DEFINICIONES

Máximo absoluto, mínimo absoluto
Sea f una función con dominio D. Decimos que f tiene un valor máximo absoluto en D en un punto c si
para todo x en D
y un valor mínimo absoluto en D en un punto c si
para toda x en D.

TEOREMA 1

Teorema del valor extremo
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza tanto un valor máximo absoluto M como un valor mínimo absoluto m en [a, b]. Esto es, existen números x1 y x2 en [a, b] con f(x1)=m, f(x2)=M y m ≤f(x) ≤ M para cualquier otra x en [a, b] (figura 4.3).
03.11.2021 Máximos y mínimos _1.PNG
DEFINICIONES Máximo local, mínimo local
Una función f tiene un valor máximo local en un punto interior c de su dominio si
Una función f tiene un valor mínimo local en un punto interior c de su dominio si
. para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c.

4.4 Concavidad y trazado de curvas

DEFINICIONES La gráfica de una función diferenciable es
(a) cóncava hacia arriba en un intervalo abierto I si f' es creciente en I.
(b) cóncava hacia abajo en un intervalo abierto I si ƒ' es decreciente en I.
Prueba de la segunda derivada para concavidad
Sea dos veces diferenciable en un intervalo I.
1. Si en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba.
2. Si ƒ– 6 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo.
DEFINICIÓN Punto de inflexión
Un punto donde la gráfica de una función tiene recta tangente y la concavidad
cambia es un punto de inflexión.
TEOREMA 5 Prueba de la segunda derivada para extremos locales
Supongamos que es continua en un intervalo abierto que contiene a
1. Si y f tiene un máximo local en
2. Si y f tiene un mínimo local en
3. Si y la prueba falla. La función f puede tener un máximo
local, un mínimo local, o ninguno de ellos.
Estrategia para graficar y � ƒ(x)
1. Identificar el dominio de f y cualesquiera simetrías que pueda tener la curva.
2. Encontrar y'
3. Encontrar los puntos críticos de f, e identificar el comportamiento de la función
en cada uno.
4. Encontrar en dónde crece la curva y en dónde decrece.
5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad
de la curva.
6. Identificar las asíntotas.
7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos
encontrados en los pasos 3 a 5, y dibujar la curva.
07.10.2021_Máximos y mínimos_0.png
Primer ejericicio de graficación
09.11.2021
Paso 1.5 Rango de la función
Paso 2 y 3:
x=sqrt(3);
x^4-6*x^2
ans = -9.0000
x=-sqrt(3);
x^4-6*x^2
ans = -9.0000
Paso 4:
Creciente:
Decreciente:
Intervalo creciente 1
Intervalo creciente 2
Intervalo decreciente 1
Intervalo decreciente 2
5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad de la curva.
Puntos de inflexión:
Al ser mayor que cero nuestra segunda derivada evaluada en el primer punto c´ritico se tiene en ese punto una concavidad hacía Arriba.
Y además se conoce la existencia de un mínio en ese punto
Al ser mayor que cero nuestra segunda derivada evaluada en el primer punto c´ritico se tiene en ese punto una concavidad hacía Abajo.
Y además se conoce la existencia de un máximo en ese punto
Al ser mayor que cero nuestra segunda derivada evaluada en el primer punto c´ritico se tiene en ese punto una concavidad hacía Arriba.
Y además se conoce la existencia de un mínio en ese punto
Trazado de curvas 2021-11-10 191040.png
6. Identificar las asíntotas.
No hay existencia de asíntotas
7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos
encontrados en los pasos 3 a 5, y dibujar la curva
6^(1/4)
ans = 1.5651
x=sym('x')
x^4-6*x^2
fplot(ans)
% Compute analytic solution of a symbolic equation
solution = solve(ans,x);
% Display symbolic solution returned by solve
displaySymSolution(solution);
3.- En el inervalo [-2,2]
x=sym('x');
f=sym('f');
f=3*x^5-5*x^3-1
1. Identificar el dominio de f y cualesquiera simetrías que pueda tener la curva.
Df=[-2,2]
2. Encontrar y'
3. Encontrar los puntos críticos de f, e identificar el comportamiento de la función
en cada uno.
x=[-1,0,1];
y=[1,-1,-3];
plot(x,y,'ro')
grid on
4. Encontrar en dónde crece la curva y en dónde decrece.
Evaluando en los puntos críticos:
En el punto -1,1 existe un máximo
En el punto 0,-1 existe un únto silla
En el punto 1,-3 existe un mínimo
Creceinte de
Decreceinte de
Creceinte de
Decreceinte de
5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad de la curva.
En el punto -1,1 existe un Concava acia abajo.
En el punto 0,-1 existe un Punto de inflexión
En el punto 1,-3 existe un Concava acia arriba.
6. Identificar las asíntotas.
No asíntotas, debido a que no es un fucnión racional
7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos
x=[-1,0,1];
y=[1,-1,-3];
plot(x,y,'ro')
grid on
Trazado de curvas 2021 11 18.PNG
Dominio, puntos de discontinuidad, máximos y mínimos locales, intervalos de crecimiento y decrecimiento , asíntotas, concavidad y puntos de inflexión y construya la gráfica:
d)
x=sym('x')
8/(x^2*sqrt(x^2-4))
var = diff(ans,x)
% Compute analytic solution of a symbolic equation
solution2 = solve(var,x);
% Display symbolic solution returned by solve
displaySymSolution(solution2);
Calculando los puntos críticos:
Comportamiento de la fucnión en los puntos críticos:
Obteniendo los valores en notacion con punto decimal:
x1=2*sqrt(6)/3
x1 = 1.6330
x2=-2*sqrt(6)/3
x2 = -1.6330
f = 0.0000 - 4.2426i
f = 0.0000 + 4.2426i
Debido a que no pertenecen al no tendrá puntos críticos.
4 calculo de segunda derivado
Regiones de crecimiento y decrecimiento:
Al aplicarle raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad se deben separar las soluciones positivas respetando el orden de relación, para las soluciones negativas se invierte el orden de relación.
Obteniendo los valores en notacion con punto decimal:
x1=2*sqrt(6)/3
x1 = 1.6330
x2=-2*sqrt(6)/3
x2 = -1.6330
Decreciente:
6.-Asíntotas
Por lo tanto se tiene una tercera asíntota en el eje x
7.- Puntos de interes y bosquejo:
eJERCICIO Graficación 27.10.2021.PNG
Comprobación
Dominio, puntos de discontinuidad, máximos y mínimos locales, intervalos de crecimiento y decrecimiento , asíntotas, concavidad y puntos de inflexión y construya la gráfica:
j)
Sol:
1.- Dominio:
Por parte de la contribución del logaritmo:
Por parte de la contribución de la función arco:
Función tangente
No se tiene ninguna restricción.
2.- Primera derivada:
Comprobando:
x=sym('x')
x = 
x
log(x)-atan(x)
ans = 
var2 = diff(ans,x)
var2 = 
3. Encontrar los puntos críticos de f, e identificar el comportamiento de la función en cada uno.
Al buscarse los
4. Encontrar en dónde crece la curva y en dónde decrece.
5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad
de la curva.
6. Identificar las asíntotas.
7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos
encontrados en los pasos 3 a 5, y dibujar la curva.

4.5 OPTIMIZACIÓN APLICADA

Resolución de problemas aplicados a la optimización
1. Lea el problema. Lea el problema hasta que lo comprenda. ¿Qué datos se dan? ¿Cuál es la cantidad desconocida que debe optimizarse?
2. Elabore un dibujo. Anote el nombre de cada parte que pueda ser importante para el problema.
3. Introduzca variables. Elabore una lista de las relaciones en el dibujo y en el pro blema como una ecuación o una expresión algebraicas; luego, identifique la va riable desconocida.
4. Escriba una ecuación para la cantidad desconocida. Si puede, exprese la incógnita como una función de una sola variable o con dos ecuaciones con dos incógni tas. Esto tal vez requiera mucha manipulación algebraica y tigonométrica.
5. Pruebe los puntos criticos y los extremos del intervalo en el dominio de la incógnita. Utilice lo que conoce acerca de la forma de la gráfica de la función. Con base en la primera y la segunda derivadas identifique y clasifique los puntos cri ticos de la función.

Ejercicios:

Dos postes verticales PQ y ST están asegurados por una cuerda PRS, que va de la parte superior del
primer poste a un punto R sobre el piso, entre los postes, y �nalmente a la parte superior del segundo
poste, como se muestra en la Figura. Demuestra que la longitud de la cuerda es mínima cuando θ1 = θ2.
Optimización.PNG
syms x p
x^(p-1)*exp(1)^(-x)
ans = 
IntGama(x) = int(ans,x)
IntGama(x) = 
IntGama(1)
ans = 
p=1
p = 1
var6 = vpa(ans)
var6 = 

5 Integración

5.6 Sustitución y área entre curvas

Áreaentre curvas

Definición:
Si f y g son continuas con f(x) -g(x) en todo [a,b], entonces el área de la región entre las curvas y = f(x) y y =g(x) de a a b es la integral de (f-g) de a a b:

syms x
sec(x)*tan(x)
ans = 
sec(x)^3
ans = 
sec(x)

6 Aplicaciones de las integrales definidas

6.1 Cálculo de volúmenes por medio de secciones transversales

Sólidos de revolución: El método de las arandelas
Si la región que hacemos girar para generar un sólido no cruza o no hace frontera con el eje de
revolución, el sólido tendrá un agujero (figura 6.13).
Cálculo de volúmenes por medio de secciones transversales_1.PNG
FIGURA 6.13 Aquí las secciones transversales del sólido de revolución generado son arandelas, no discos, por lo que la
integral conduce a una fórmula ligeramente diferente.
Las secciones transversales perpendiculares
al eje de revolución, en vez de discos, son arandelas (la superficie circular en medio de la
figura 6.13). Las dimensiones de una arandela representativa son
El área de la arandela es
.
En consecuencia, la definición de volumen da
Volumen mediante arandelas para rotación del eje x
Este método para calcular el volumen de un sólido de revolución se denomina método de las
arandelas, ya que cada pequeña pieza parece una arandela circular de radio exterior R(x) y radio
interior r (x).
EJEMPLO 9 Para generar un sólido, se hace girar alrededor del eje x la región acotada por la
curva y la recta . Determine el volumen del sólido.
Solución Utilizamos los cuatro pasos para el cálculo del volumen de un sólido
1. Dibuje la región y elabore un bosquejo de un segmento de recta que la cruce y sea perpendicular
al eje de revolución (el segmento en color negro de la figura 6.14a).
Cálculo de volúmenes por medio de secciones transversales_2.PNGCálculo de volúmenes por medio de secciones transversales_3.PNG
FIGURA 6.14 (a) La región del ejemplo 9
generada por un segmento de recta perpendicular
al eje de revolución. (b) Cuando la
región se hace girar alrededor del eje x, el
segmento de recta genera una arandela.
2. Determine los radios exterior e interior de la arandela que se generan al hacer girar este
segmento alrededor del eje x.
Dichos radios son las distancias de los extremos del segmento de recta al eje de revolución
(figura 6.14).
3. Calcule los límites de integración determinando las coordenadas x de los puntos de intersección
de la curva y la recta de la figura 6.14a.
x=-2, x=1 Límites de integración
4. Evalúe la integral del volumen.
Rotación alrededor del eje x
Valores de los pasos 2 y 3
Simplificar algebraicamente
Para determinar el volumen de un sólido formado al hacer girar una región alrededor del
eje y, utilizamos el mismo procedimiento que en el ejemplo 9, pero integramos con respecto a y
no con respecto a x. En tal situación, el segmento de recta describe una arandela representativa
que es perpendicular al eje y (el eje de revolución), así como los radios exterior e interior de la
arandela son funciones de y.
EJEMPLO 10
Para generar un sólido, se hace girar alrededor del eje y la región acotada por
la parábola y la recta en el primer cuadrante. Determine el volumen del sólido.
Solución :
Primero bosquejamos la región y dibujamos un segmento de recta en la región que
sea perpendicular al eje de revolución (el eje y). Véase la figura 6.15a.
Cálculo de volúmenes por medio de secciones transversales_4.PNGCálculo de volúmenes por medio de secciones transversales_5.PNG
FIGURA 6.15 (a) La región que será girada
alrededor del eje y, los radios de las arandelas
y los límites de integración del ejemplo 10.
(b) La arandela descrita por el segmento de
recta del inciso (a).
Los radios de la arandela, que se describe por el segmento de recta, son
, (figura 6.15).
La recta y la parábola se intersecan en y = 0 y y = 4, por lo que los límites de integración
son c = 0 y d = 4. Integramos para determinar el volumen:
Rotación alrededor del eje y.
Sustituir los límites de integración por los radios

7 FUNCIONES TRASCENDENTES

Funciones inyectivas (uno a uno)

Una función es una regla que asigna un valor, dentro de su rango, a cada uno de los puntos de su dominio. Algunas funciones asignan el mismo valor del rango a más de un elemento del dominio. La función asigna el mismo valor, 1, a ambos números -1 y +1; tanto el seno de como el de tienen el valor Otras funciones asumen cada valor en su rango no más de una vez. La raíz cuadrada y el cubo de números diferentes son siempre diferentes.
Una función con valores distintos en elementos distintos en su dominio se denomina inyectiva (o uno a uno). Estas funciones toman exactamente una vez cada valor de su rango.
x=linspace(-10,10);
plot(x,x+2)
grid on
title("Gráfica de función x+2") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off"; % apagar caja
  1. La función es inyectiva porque para cada valor de x corresponde un único valor de y
  2. Debido a que la función es creciente en todo moemnto la funcipon es inyectiva
x=linspace(-4,4);
y=x.^2-1;
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función x^2-1") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
axis([x(1),x(100),min(y),max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
14.10.2021_1.PNG
La función no es inyectiva ya que para 2 valores de x se optiene un solo varlor de y.
Otra forma de visularizarlo es preguntar si la función es creciente o decreciente en todo momento, en caso de que nosea así, la función no es inyectiva

DEFINICIÓN 1

Una función f (x) es inyectiva en el dominio D si siempre que en D.
EJEMPLO 1
Algunas funciones son inyectivas en todo su dominio natural. Otras funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero al restringir la función a un dominio más pequeño, es posible crear una función que sea inyectiva. Las funciones, la original y la restringida, no son la misma función, pues sus dominios son diferentes. Sin embargo, las dos funciones tienen los mismos valores en el dominio pequeño, así que la función original es una extensión de la función restringida de su dominio menor al dominio más grande.
(a) es inyectiva en cualquier dominio de números no negativos porque siempre que .
(b) no es inyectiva en el intervalo , porque . De hecho, para cada elemento en el subintervalo [0, py2), existe un elemento correspondiente x2 en el subintervalo (py2, p] que satisface sen x1 5 sen x2, así que a elementos distintos en el dominio se les asigna el mismo valor en el rango. Sin embargo, la función seno es inyectiva
en [0, py2], ya que el seno es una función estrictamente creciente en [0, py2], lo
que da salidas distintas para entradas distintas.
La gráfica de una función inyectiva y 5 f (x) puede intersecar a lo más una vez a una recta
horizontal dada. Si la cruza más de una vez, toma el mismo valor de y para al menos dos valores
diferentes de x; por lo tanto, no es inyectiva (figura 7.1).

Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas

Una función y 5 f (x) es inyectiva si y sólo si su gráfica interseca cada recta horizontal
a lo más una vez.

Funciones inversas

Como cada resultado de una función inyectiva proviene sólo de una entrada, invertimos el efecto
de la función para enviar una salida de regreso a la entrada de donde provino.

DEFINICIÓN

Suponga que f es una función inyectiva en un dominio D con rango R.
La función inversa f 21 se define como
El dominio de f 21 es R y el rango de f 21 es D.
ƒ-1sbd = a si ƒsad = b.
El símbolo f 21 para la inversa de f se lee “inversa de f ”. El “21” de f 21 no es un exponente:
f 21(x) no significa 1yf (x). Observe que los dominios y rangos de f y f 21 se intercambian.
EJEMPLO 2 Suponga que se da una función inyectiva, y 5 f (x), por medio de una tabla de
valores
x 1 2 3 4 5 6 7 8
ƒ(x) 3 4.5 7 10.5 15 20.5 27 34.5
y 3 4.5 7 10.5 15 20.5 27 34.5
ƒ-1syd 1 2 3 4 5 6 7 8
De esta forma, una tabla para los valores de x 5 f 21(x) se puede obtener con sólo intercambiar
los valores en las columnas de la tabla para f :
Si aplicamos f para enviar una entrada x a la salida f (x) y en seguida aplicamos f 21 a f (x),
obtenemos nuevamente x, justo donde iniciamos. De manera análoga, si tomamos algún
número y en el rango de f, le aplicamos f 21 y luego aplicamos f al valor resultante f 21(y),
obtenemos una vez más el valor y con el que iniciamos. Componer una función y su inversa
anula cualquier trabajo.
Sólo una función que sea inyectiva puede tener una inversa. La razón es que si f (x1) 5 y
y f (x2) 5 y para dos entradas distintas x1 y x2, entonces no existe forma de asignar un valor a
f 21(y) que satisfaga al mismo tiempo f 21( f (x1)) 5 x1 y f 21( f (x2)) 5 x2.
sƒ � ƒ-1dsyd = y, para toda y
Una función que es creciente en un intervalo, de manera que satisface la desigualdad
f (x2) . f (x1) cuando x2 . x1, es inyectiva y tiene una inversa. Las funciones decrecientes
también tienen una inversa. Las funciones que no son crecientes ni decrecientes aún pueden ser
inyectivas y tener una inversa, como la función f (x) 5 1yx para x Z 0 y f (0) 5 0, definida en
(2`, `) que pasa la prueba de la recta horizontal.

Función suprayectiva

Una función f: A→Bes suprayectiva o sobreyectiva si para cada be Bexiste a e A tal que f(a)= b; es decir, para todo elemento de B siempre hay uno de A al cual fue asignado.
Otra forma de reconocer una función suprayectiva es si su contradominio es igual a su rango. Al menos que se indique lo contrario el contradominio de las funciones dadas serán los números reales.
EJEMPLOS
Determina si la función f(x) = x² + 1 es suprayectiva.
Solución
El contradominio de la función es el intervalo (-∞, c) y su rango el intervalo [1, ∞), por tanto, la función no es suprayectiva.
x=linspace(-2,2);
y=x.^2+1;
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función x^2+1") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
axis([x(1),x(100),0,max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
Demostración:
De la definición de funci´n inyectiva: Una función f (x) es inyectiva en el dominio D si siempre que en D.
Se propne 2 número realies x1 y x2 que cumplan con las características de la definición.
x1=1
x2=-1
f(x1)=(1)^2+1=1
f(x2)=(-1)^2+1=1
Al evaular en los 2 valores propuestos diferenctes se obtiene un mismo valor de f(x)
\therefore
La función no es inyectiva
2. Determina si la función f(x) = x³ + 1 es suprayectiva
Solución
x=linspace(-2,2);
y=x.^3+1;
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función x^3+1") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
El contradominio de la función es el intervalo (-, ∞) y su rango el intervalo (-, ∞), por tanto, la función es
suprayectiva.
14.10.2021_2.PNG

Función biyectiva

Una función "f" es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
EJEMPLOS
1.-Determina si la función f(x)= 3x + 1 es biyectiva.
Solución
x=linspace(-2,2);
y=3*x+1;
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función 3*x+1") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
Es una función siempre creciente, por tanto, es inyectiva. El contradominio de la función es (-∞, ∞) y su rango (-∞,∞) entonces es suprayectiva.
La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, es biyectiva.
2.-Determina si la función es biyectiva.
Solución
x=linspace(-2,1);
y=(1-x).^(1/2);
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función (1-x)^{(1/2)}") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
Si al trazar una recta paralela al eje X interseca a la curva en un punto es inyectiva; no es suprayectiva, ya que su contradominio son los reales y su rango es el intervalo [0, ∞). Es inyectiva pero no suprayectiva, entonces no es biyectiva.
3.- Determina si la función f: (-∞, 1] → [0, ∞), tal que es biyectiva.
Solución
La gráfica es la misma de la función del ejemplo anterior, por tanto, la función es inyectiva.
En este caso se especifica el contradominio como el intervalo [0, ∞) el cual es igual al rango, entonces, es su prayectiva.
Es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva
Contradominio: (-\infty- \infty)
Si se especifica
Codominio: (a, b) :
Dominio: (-∞, 1]
Codominio: [0, ∞)
Rango: [0, ∞)
\therefore: f(x) es Biyectiva
4. Determina si la función f: (-∞, 0]→[0, ∞), tal que es biyectiva.
Solución
x=linspace(-2,0);
y=x.^2;
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función f: (-∞, 0]→[0, ∞) x^2") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
De la gráfica se observa que la función es inyectiva, ya que la recta horizontal sólo toca un punto. Por otro lado, el contradominio es el intervalo [0, ∞) el cual es igual al rango, por tanto, es suprayectiva. Por último, es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva...

Ejercicios 8

Screenshot[2]-01.pngScreenshot[3]-01.png
1. f(x)=x
Sol:
De ladefinición: (1)
Es inyectiva ya que cumple con la definición.
2. f(x) = 3
Sol:
De ladefinición: (1)
21.10.20201_2.PNG
3. f(x)=x²
Sol:
De ladefinición: (1)
No es una función inyectiva
x=linspace(-2,2);
y=x.^2;
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función x^2") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
4. f(x) = x³
Sol:
De ladefinición: (1)
Es una función inyectiva
x=linspace(-2,2);
y=x.^3;
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función x^3") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
Ahora analizamos si es suprayectiva
Es suprayectiva.
Siempre para este punto se dbe resolver para la variable independiente y busvar la presencia de los siguinetes caso de discontinuidad o inexestancia del rango:
  1. División entre 0
  2. Raices pares negativas
5.
6. f(x)=x²-7x + 10
7. f(x)=2x-3
8.
9. f. , tal que f(x)=x²-1
10. f: [0, ∞)→ [0, ∞), tal que f(x) = |x|

Ejercicios adicionales

1

Sol:
De ladefinición: (1)
Es inyectiva
Ahora analizamos si es suprayectiva
Siempre para este punto se debe resolver para la variable independiente y busvar la presencia de los siguinetes casos de discontinuidad o inexestancia del rango:
  1. División entre 0
  2. Raices pares negativas
  3. valores indeterminados para logaritmos menores o iguales a 0.
Buscamos aquellos valores que hagan negativo o 0 el argumento del logaritmo
Por lo tanto el rango se define como:
De forma general no es suprayectiva.

2

Sol:
x=linspace(-2,pi);
[m,l]=size(x);
y=zeros(1,l);
[m,n]=size(x);
for i=1:n
if (0<=x(i) && x(i)<=pi)
y(i)=2-cos(x(i));
elseif(-2<x(i) && x(i)<0)
y(i)=log(x(i)+exp(1));
end
end
plot(x,y)
grid on
title("Gráfica de función f(x)") % Título
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
axis([x(2),x(100),min(y),max(y)+max(y)*0.1])
h = gca; % ejes actuales
h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen
h.Box = "off";
a)
De la definición 1:
Primera consideración:
Por lo tanto es inyectiva en el primer caso
Por lo tanto es inyectiva en el segundo caso
b) Se busca si es suprazectiva.
En general no es suprayectiva za que en general el rango no es igual al coodominio.
Se despejara de la función segmentada la variable dependiente:
para el intervalo
Por lo tanto se ha demostrado que el rango no es todos los reales y por lotanto es diferente del codominio
No suprayectiva en general.
c) No es biyectiva, ya que no es suprayectiva en lo general.

8 Técnicas de integración

8.1 Integración por partes

14.12.2021
CDI J Tercer exámen Demostraciones 14.12 (2).png

8.7 Integrales impropias

x=sym('x');
1/(1-x^2)
ans = 
var3 = int(ans,x)
var3 = 
x=sym('x');
1/(x^2+4*x+9)
ans = 
syms x
F(x) = cos(x);
x0 = pi/2;
dF(x) = diff(F(x),1)
dF(x) = 
ddF(x) = diff(F(x),2)
ddF(x) = 
dddF(x) = diff(F(x),3)
dddF(x) = 
Ft0(x) = F(x0)
Ft0(x) = 
0
Ft1(x) = F(x0) + dF(x0) * (x-x0)
Ft1(x) = 
Ft2(x) = F(x0) + dF(x0) * (x-x0) + (ddF(x0)/factorial(2)) * (x - x0)^2
Ft2(x) = 
Ft3(x) = F(x0) + dF(x0) * (x-x0) + (ddF(x0)/factorial(2)) * (x - x0)^2 + (dddF(x0)/factorial(3)) * (x - x0)^3
Ft3(x) = 
fplot(F(x))
clc
close all
clear
syms x
f(x) = (1+x^2)^(1/4)
f(x) = 
10^(1/4)
ans = 1.7783
https://www.desmos.com/calculator/sosn6xu2nj

Cambio de variable:

syms x t
f(x)=1/(sin(x)+tan(x))
f(x) = 
Cambio de variable propuesto:
t=tan(x/2)
t = 
fplot(f)
Intf(x) = int(f(x),x)
Intf(x) = 
simplifiedExpr10(x) = 
fplot(Intf)
FRcall(x) = diff(Intf(x),x)
FRcall(x) = 
fplot(FRcall)
% Compute simplified symbolic expression
FRcall
FRcall(x) = 
simplifiedExpr3 = simplifyFraction(FRcall)
simplifiedExpr3(x) = 
% Compute simplified symbolic expression
FRcall
FRcall(x) = 
simplifiedExpr2 = expand(FRcall)
simplifiedExpr2(x) = 
% Compute simplified symbolic expression
FRcall
FRcall(x) = 
simplifiedExpr = simplify(FRcall)
simplifiedExpr(x) = 
g(x)=(2^(x+1)+5^(x-1))/(10^x)
g(x) = 
Int_g(x) = int(g(x),x)
Int_g(x) = 
diff_fg(x)=diff(Int_g(x),x)
diff_fg(x) = 
simplifiedExpr13(x) = 
14.12.2021
CDI J Tercer exámen Demostraciones 14.12 (1).png

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