Cálculo multivariable

Table of Contents
Cálculo multivariable Thomas The Sandwich Theorem Límites y continuidad en dimensiones superiores Continuidad DEFINICIÓN Derivadas parciales DEFINICIÓN DEFINICIÓN TEOREMA 2: Teorema de la derivada mixta Diferenciabilidad TEOREMA 3: Teorema del incremento para funciones de dos variables DEFINICIÓN Ejercicios Ejercicios curso 1.5 2 14.5 Derivas direccionales y vector gradiente Definición Definición Ejercicios 15 Integrales Múltiples 15.2 Integrales dobles sobre regiones generales 15.3 Áreas por doble integración 15.4 Integrales dobles en forma polar 15.5 Integrales triples en coordenadas rectangulares Stewart 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas Carga electrica 15.9 Integrales triples en coordenadas esféricas Exámen segundo parcial Integrales de línea (campos vectoriales) 16,4 Teorema de Green 16,7 Integrales de superficie Integrales de superficie de campos vectoriales 16.8 Teorema de Stokes Referencias: Redes de contacto: 🖥️

Thomas

The Sandwich Theorem

Suppose that for all x in some open interval l containing c,
except possibly at x=c itself. Suppose also that
Gráfica intuitiva
Ejercicio:
Utilizando:
.....(1)
.....(2)
Sol:
Al ser un límite del tipo
20.10.20201_1.PNG
Utilizando 2:
Factoriznado el donominador:
Calculando el límite:
utilizando (1):
Comprobación: Gráfica en el espacio

Límites y continuidad en dimensiones superiores

Continuidad

Como en las funciones de una variable, la continuidad se define en términos de límites.

DEFINICIÓN

Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) si
1. ƒ está definida en (x0, y0),
2. existe,
3.
Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

Derivadas parciales

DEFINICIÓN

La derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es
si el límite existe.

DEFINICIÓN

La derivada parcial de f (x, y) con respecto a y en el punto (x0, y0) es
siempre que el límite exista.

TEOREMA 2: Teorema de la derivada mixta

Si f (x, y) y sus derivadas parciales
f x, f y, f xy y f yx están definidas en una región abierta que contiene a un punto (a, b), y todas son continuas en (a, b), entonces
ƒxy(a,b) = ƒyx(a,b).

Diferenciabilidad

TEOREMA 3: Teorema del incremento para funciones de dos variables

Suponga que las primeras derivadas parciales de f (x, y) están definidas en una región abierta R que contiene el punto (x0, y0), y que f x y f y son continuas en (x0, y0). Entonces, el cambio
en el valor de f que resulta del movimiento de (x0, y0) a otro punto () en R satisface la ecuación de la forma
en la cual cada:

DEFINICIÓN

Una función es diferenciable en si y
existen y si satisface la ecuación de la forma
en la cual cada cuando .
Decimos que f es diferenciable si es derivable en todos los puntos de su dominio, y decimos que su gráfica es una superficie suave.
COROLARIO DEL TEOREMA 3
Si las derivadas parciales f x y f y de una función f (x, y) son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en cada punto de R.
TEOREMA 4:
La diferenciabilidad implica continuidad Si una función f (x, y)
es diferenciable en (x0, y0), entonces f es continua en (x0, y0).
*es posible que una función de dos variables sea discontinua en un punto
donde existen sus primeras derivadas parciales
*la continuidad de las derivadas
parciales garantiza la diferenciabilidad.

Ejercicios

88. ¿Una función f (x, y) que tiene sus primeras derivadas parciales continuas
en una región abierta R tiene que ser continua en R? Justifique
su respuesta.
89. Si una función f (x, y) tiene sus segundas derivadas parciales continuas
en una región abierta R, ¿deben ser las derivadas parciales de primer
orden de f continuas en R? Justifique su respuesta.
91. Sea ƒsx, yd Demuestre que f x(0, 0) y f y(0, 0) existen, pero f no es derivable en
(0, 0). [Sugerencia: Use el teorema 4 y demuestre que f no es continua
en (0, 0)].
92. Sea Demuestre que f x(0, 0) y f y(0, 0) existen, pero f no es derivable en
(0, 0).

Ejercicios curso

247580984_627877311536445_7752922642458350288_n.png

1.5

Sol:
Gráfica f(x)
Del corolario 3 se pretende conocer el comportamiuento de las primera derivadas parciales respecto a x_1 y x_2;
Para derivar se utilizará la regla de la cadena:
Derivando en x=x_0
Es discontinua por lo tanto no es difernciable.

2

247672397_179525557603012_7912714838479665734_n.png
Sol:
Gráfica f(x)
Del corolario 3 se pretende conocer el comportamiuento de las primera derivadas parciales respecto a x_1 y x_2;
247324408_570626320811876_9061295343140897301_n.png

Diferenciabilida 3

14.5 Derivas direccionales y vector gradiente

Definición

La derivada de f en en la dirección del vector unitario es el número

Definición

El vector gradiente (gradiente) de f(x,y) en un punto es el vector

Ejercicios

247580984_627877311536445_7752922642458350288_n.png
Sol:-6x1-11x2-6x3+u-6x1-11x2-6x3+u
clc
close all
clear
x = linspace(-3,3,30);
y = linspace(-3,3,30);
n=length(x);
m=length(y);
f=zeros(n,m);
for i=1:n
for j=1:m
f(i,j) = (x(i)*y(j))/(x(i)*x(i));
end
end
surf(x,y,f)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
colorbar
%xlim([-1 1])
ylim([-0.5 0.5])
%zlim([-6.3 6.3])
mesh(x,y,f)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
colorbar
Gráfica
Multiplicando por la dirección deseada:

15 Integrales Múltiples

15.2 Integrales dobles sobre regiones generales

1. Elabore un bosquejo. Trace la región de integración y marque cada curva que determina la
frontera (figura 15.14a).
2. Determine los límites de integración en y. Imagine una recta vertical L que atraviese a R
en la dirección creciente de y. Marque los valores de y donde L entra y sale. Éstos son
los límites de integración en y y, por lo general, son funciones de x (en vez de constantes)
(figura 15.14b).
3. Determine los límites de integración en x. Elija los límites de x que incluyan todas las rectas
verticales que atraviesen R. La integral mostrada aquí es (véase la figura 15.14c)

15.3 Áreas por doble integración

DEFINICIÓN El área de una región plana cerrada y acotada R es
Valor promedio

15.4 Integrales dobles en forma polar

1. Elabore un bosquejo. Elabore un bosquejo de la región y marque las curvas de la frontera
(figura 15.23a).
2. Determine los límites de integración en r. Imagine un rayo L que parte del origen y que
corta a R en la dirección creciente de r. Marque los valores de r donde L entra y sale de R.
Éstos son los límites de integración en r. Estos límites por lo general dependen del ángulo
θ que forma L con el semieje positivo x (figura 15.23b).
3. Determine los límites de integración en θ . Obtenga los valores mínimo y máximo de u que acotan a R. Éstos son los límites de integración en θ (figura 15.23c). La integral iterada polar es
FIGURA 15.23_15.4 Integrales dobles en forma polar.PNG
FIGURA 15.23 Determinación de los límites de integración en coordenadas polares.
EJEMPLO 1 Determine los límites de integración para integrar f (r, θ) sobre la región R que está dentro de la cardioide r = 1+ cos θ y fuera de la circunferencia r = 1.
Polares Ejemplo 1 17.11.2021.PNG
Área en coordenadas polares
El área de una región cerrada y acotada R en el plano de coordenadas polares es
Cambio de integrales cartesianas a integrales polares

15.5 Integrales triples en coordenadas rectangulares

Integrales triples
o
Volumen de una región en el espacio
DEFINICIÓN El volumen de una región cerrada D y acotada en el espacio es
Cálculo de límites de integración en el orden dz dy dx
1. Elabore un bosquejo. Trace la región D junto con su “sombra” R (proyección vertical) sobre el plano xy. Marque las superficies de las fronteras superior e inferior de la región D y las curvas de las fronteras superior e inferior de R.
2. Determine los límites de integración en z. Trace una recta M, paralela al eje z, que pase por un punto típico (x, y) en R. Cuando z crece, M entra a D en y sale en . Éstos son los límites de integración en z.
3. Determine los límites de integración en y. Dibuje una recta L paralela al eje y que pase por (x, y). Cuando y crece, L entra a R en y sale en . Éstos son los límites de integración en y.
4. Determine los límites de integración en x. Seleccione los límites en x que incluyan todas
las rectas paralelas al eje y que pasen por R (x 5 a y x 5 b en la figura anterior). Éstos
son los límites de integración en x. La integral es
Siga procedimientos similares si cambia el orden de integración. La “sombra” de la región
D se encuentra en el plano de las dos últimas variables con respecto a las que se realiza
la integración iterada.
El procedimiento anterior se aplica siempre que una región sólida D esté acotada por arriba y por abajo por una superficie, y cuando la “sombra” de la región R esté acotada por una curva superior y una inferior. No se aplica para regiones con agujeros que las atraviesan, si bien algunas veces estas regiones se subdividen en regiones más simples para las cuales sí se aplica el procedimiento.

Stewart

10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

10.1 Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas

1 Sea -{plano xz} definida por f(x,y,z) = . Evaluar donde está dado por .
(Solución: )
Sol:
t=linspace(1,exp(1));
x=log(t);
y=t;
z=ones(1,length(t))*2;
Función:
yfun=linspace(1,3,10);
xfun=linspace(0,1);
zfun=zeros(1,length(yfun));
for i=1:length(yfun)
zfun(i)=1/y(i)^3;
end
figure
for i=1:length(xfun)
for j=1:length(yfun)
plot3(xfun(i),yfun(j),zfun(j),'o')
hold on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
grid on
%pause(0.1)
end
end
figure
[X,Y] = meshgrid(0:0.3:3);
Z = 1./(Y.^3);
mesh(X,Y,Z)
Sigma(t)
figure
for i=1:length(t)
plot3(x(i),y(i),z(i),'o')
hold on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
grid on
pause(0.1)
end
figure
for i=1:length(t)
plot3(x(i),y(i),z(i),'o')
hold on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
grid on
%pause(0.1)
end
[X,Y] = meshgrid(0:0.3:3);
Z = 1./(Y.^3);
mesh(X,Y,Z)

Carga electrica

2. La carga eléctrica se distribuye sobre el disco
de modo que la densidad de carga en (x, y) es
(medida en coulombs por metro
cuadrado). Calcule la carga total sobre el disco.
Sol:
Transfromando a cordenadas polares
Límites
Integrando:

15.9 Integrales triples en coordenadas esféricas

Pag. 1038
21-34 Use coordenadas esféricas.
21. Evalúe , donde B es la bola con centro
en el origen y radio 5.
Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
23. Evalúe , donde E está entre las esferas
y
39-41 Evalúe la integral cambiando a coordenadas esféricas.

Exámen segundo parcial

2doExmán Departamental.png
2doExmán Departamental 4to ptroblema_1.PNG
2doExmán Departamental 4to ptroblema_2.PNG
255285259_460243825431764_2787313934586370330_n.png
Sol:
Inciso a
Inciso b
En los puntos dentro del cubo los cuales coicniden con la superficie de una esfera de radio 1
2doExmán Departamental 6,7to 8vo ptroblema.png
Sol:
Diviendo en 2 el espacio a intergar:
En cooredenadas cilíndircas:

Integrales de línea (campos vectoriales)

4. Sea C el perímetro del cuadrado unitario en (o sea, la forntera del rectángulo [0,1] X [0,1]), orientado en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj. Evaluar la integral
Whiteboard[1]-01.png
5. Dada la FUerza
Calcular el trabajo al mover una partícula a lo largo de l trayectoria descrita por la parábola , , de x=-1 a x=2.
Sol:
Whiteboard[2]-02.png
16.12.2021
7 Suponer que . Si f(0,0,0) = 5, hallar f(1,1,2)
Solución:
Whiteboard[2]-01.png
Evaluando la función en la condición inicial f(0,0,0) = 5 se busca obtener la constante de integración C.
format short
syms x y z e c
f(x,y,z)=e^(x^2)*y*z+c
f(x, y, z) = 
f(0,0,0)
ans = 
c
c=5
c = 5
f(x,y,z)=e^(x^2)*y*z+c
f(x, y, z) = 
f1_1_2=f(1,1,2)
f1_1_2 = 
f1_1_2=2*exp(1)+5
f1_1_2 = 10.4366

16,4 Teorema de Green

Evalue la integral de línea mediante dos métodos:
a) directamente y b) utilizando el teorema de Green.

16,7 Integrales de superficie

Integrales de superficie de campos vectoriales

Ley de Gauss
12. Demostrar que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie (Gaussiana) cerrada esférica producido por una carga puntual Q que no esté colocada en el centro de la esfera es igual al flujo, , si la misma carga se coloca en el centro de la esfera (Véase Figura G1).
Ley de Gauss_12_03.12.2021.PNG
Sol:
Se sabe que la ley de Gauss es :
El Flujo eléctrico se define como:
Igualno el pirmer miembro de la definición de flujo con el segundo de la ley de Gauss:
Evaluando ley de Gauss para el campo 1:
Escribiendo la integral de superficie cerrada con sus límites se tiene:
Evaluando ley de Gauss para el campo 2:
13. Sea una esfera sólida de radio a cargada uniformemente. Calcular el campo eléctrico en un punto r donde a) r>a , b) r< c , c) r=a .
Sol:
Se sabe que la ley de Gauss es :
a) r>a

16.8 Teorema de Stokes

3. S es la parte del paraboloide que esta dentro del cilindro , orientada hacia arriba.
5. , S consiste en la parte superior o tapa y los cuatro lados (pero no el fondo) del cubo, con vértices (), orientado hacia afuera
7.
Utilice el teorema de Stokes para evaluar .En cada caso , C está orientada en el sentido contrario al de las manecillas del reloj como si se viera desde arriba.
, C es el triángulo con vértices (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)
11.
a) Utilice el teorema de Stokes para evaluar , donde
y C es la curva de la intersección entre el plano y el cilindro con orientación en el sentido contrario al de las manecillas del reloj como si se viera desde arriba.
b) Grafique tanto el plano como el cilindro con dominios elegidos de tal modo que pueda ver la curva C y la superficie que usó en el inciso a).
c) Plantee ecuaciones paramétricas para C, y con ellas grafique C.
16.12.2021
  1. Sean cuatro vectores en , probar que :
Solución:
syms u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 r1 r2 r3
u=[u1 u2 u3]
u = 
v=[v1 v2 v3]
v = 
w=[w1 w2 w3]
w = 
r=[r1 r2 r3]
r = 
ucruzv=[(u2*v3-u3*v2),(u3*v1-u1*v3),(u1*v2-u2*v1)]
ucruzv = 
wcruzr=[(w2*r3-w3*r2),(w3*r1-w1*r3),(w1*r2-w2*r1)]
wcruzr = 
ucruzv_punto_wcruzr=ucruzv(1)*wcruzr(1)+ucruzv(2)*wcruzr(2)+ucruzv(3)*wcruzr(3)
ucruzv_punto_wcruzr = 

Referencias:

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