Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales CONTENIDOS: II. Ecuaciones diferenciales de orden superior. 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES 4.2 Reducción de orden 4.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 4.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales Lista de ejercicios III. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. Referencias: Redes de contacto: 🖥️

CONTENIDOS:

1. Introducción a las ecuaciones diferenciales y a las ecuaciones de primer orden.
II. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
III. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias.
IV. La Transformada de Laplace.
V. Sistemas de ecuaciones diferenciales.

II. Ecuaciones diferenciales de orden superior.

16.11.2021

4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

4.1.2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma
se dice que es homogénea, mientras que una ecuación
an(x)
dny
dxn an 1(x)
dn 1y
dxn 1 a1(x)
dy
dx
a0(x)y g(x), (7)
FUNCIÓN COMPLEMENTARIA Vemos en el teorema 4.1.6 que la solución general
de una ecuación lineal no homogénea está compuesta por la suma de dos funciones:
La combinación lineal
,
que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras,
para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea, primero se resuelve la
ecuación homogénea asociada y luego se encuentra una solución particular de la ecuación
no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es entonces
y = función complementaria + cualquier solución particular = yc + yp.
27.10.2021
02.11.2021

4.2 Reducción de orden

REDUCCIÓN DE ORDEN Suponga que y1 denota una solución no trivial de (1) y que y1 se defi ne en un intervalo I. Se busca una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sean un conjunto linealmente independiente en I. Recuerde que si y1 y y2 son linealmente independientes, entonces su cociente y2/y1 no es constante en I, es decir, y2(x)/ y1(x) = u(x) o y2(x)= u(x)y1(x). La función u(x) se determina al sustituir y2(x) = u(x)y1(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para encontrar a u.
EJEMPLO 1 Una segunda solución por reducción de orden
Dado que
es una solución de y'' - y = 0 en el intervalo , use reducción de orden para determinar una segunda solución y2.
SOLUCIÓN
Si , entonces aplicando la regla del producto se obtiene
Derivando:
por tanto
Puesto que
Sustitución w = u' -> primer orden en w.
Factor integrante , se puede escribir
Después de integrar, se obtiene
Al integrar de nuevo se obtiene u
Así
Haciendo c2 = 0 y c1 =-2, se obtiene la segunda solución deseada, . Puesto que
para toda x, las soluciones son linealmente independientes en .
Puesto que se ha demostrado que son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión en (2) es en realidad la solución general de
en .
CASO GENERAL
Suponga que se divide entre a2(x) para escribir la ecuación (1) en
la forma estándar
y'' + P(x)y' +Q(x)y= 0, (3)
donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supongamos además que y1(x) es una solución conocida de (3) en I y que y1(x) ≠ 0 para toda x en el intervalo. Si se define y = u(x)y1(x), se tiene que:
Esto implica que se debe tener
(4)
donde hacemos que w=u'. Observe que la última ecuación en (4) es tanto lineal como separable. Separando las variables e integrando, se obtiene
Despejamos a w de la última ecuación, usamos w = u'e
integrando nuevamente:
Eligiendo c1 = 1 y c2 = 0, se encuentra de y = u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación (3) es
Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2(x) que se defi ne en (5) satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero.
EJEMPLO 2 Una segunda solución por la fórmula (5)
La función es una solución de . Encuentre la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ∞).
SOLUCIÓN
De la forma estándar de la ecuación,
encontramos de (5)
La solución general en el intervalo (0, �) está dada por y � c1 y1 � c2 y2; es decir,
y � c1x2 � c2x2 ln x.
COMENTARIOS
ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de una ecuación no homogénea
siempre que se conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada.

4.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición

4.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador

4.7 Ecuación de Cauchy-Euler

5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales

RLC.PNG
(32)
(33)
(34)
donde:
q = carga
E = votencia o voltaje en función del tiempo
Si E(t)= 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres
sobreamortiguado si
críticamente amortiguado si
subamortiguado si
Cuando E(t) = 0 y R = 0, se dice que el circuito
no está amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme t crece sin
límite; la respuesta del circuito es armónica simple.
Cuando se aplica un voltaje E(t) al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas
son forzadas. En el caso cuando R ≠ 0, la función complementaria de (34) se
llama solución transitoria. Si E(t) es periódica o una constante, entonces la solución
particular de (34) es una solución de estado estable.
Sol:
Por coeficientes indeterminados:
Si entonces

Reactancia
Impedancia
y se miden en Ohms

Lista de ejercicios

5) Encontrar la carga en un circuito cuando L=0.1h, C=0.1f, E(t)=100sent, R=10 ohms, g(0)=0C e i(0)=0 A

III. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias.

Referencias:

Libros

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